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关于李群李代数概念上的一些问题

楼主#
更多 发布于:2018-10-09 19:13
李代数so3对应的是李群SO3在它单位元附近的正切空间。那么指数映射是不是只能将so3上的元素映射到SO3的单位元附近? 还有李代数中的元素到底是个向量还是这个向量的反对称矩阵?我看高博的书上定义的李代数是一个向量,但state estimation for robotics这本书上又定义李代数中的元素为向量的反对称矩阵。

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沙发#
发布于:2018-10-09 19:30
1.那么指数映射是不是只能将so3上的元素映射到SO3的单位元附近? 这个问题有点没理解。 指数映射:so(3)->SO(3) 对数映射:SO(3)->so(3) “只能将”是什么意思? 2.这个你理解就好了。说的是一回事。 在进行运算时,需要用到矩阵形式(反对称阵),而向量和这个反对称阵是一一对应的。 向量会比较好记一些。
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板凳#
发布于:2018-10-09 19:30
第一个问题我的意思是 李代数上的元素是不是不能映射到李群上不在单位阵附近的元素?还是李群上所有元素都在单位阵附近,因为他们的行列式都为1,我这样理解对不对? The vectorspace of a Lie algebra is the tangent space of the associated Lie group at the identity element of the group, and it completely captures the local structure of the group.这句话说李代数描述的是李群的局部性质,所以我很疑惑为啥单位阵附近的切向空间也就是so3能通过指数映射 映射到整个SO3上?
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地板#
发布于:2018-10-09 19:30
贺一家对这个问题做过解释,参考: http://blog.csdn.net/heyijia0327/article/details/50446140 上式中的约束表示R是旋转矩阵。由前面的推导公式三知道如果R是单位矩阵,那它的导数就是一个反对称矩阵,所以只有反对称矩阵组成的空间,即 so(3),我们称之为在在单位矩阵处的正切空间tangent space.为什么称为正切呢?回忆二维曲线在某处的导数是一条切线。对于这个三维球面,那么它的导数应该是个切面。如附件图所示,图片来源于tangent space 的 wiki: 可是对于那些不是单位矩阵的旋转矩阵R该怎么找在他们位置处的正切空间呢?由公式3我们知道,在反对称矩阵的右边乘以R就能够得到R的导数,所以在非单位矩阵的R处的正切空间就是反对称矩阵乘以R就行了。
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4楼#
发布于:2018-10-09 19:30
来学习一下,不过我觉得,某个方面上讲的话,向量和反对称矩阵只是表达方式不同,实际上是一回事。如果一定要从数学上来讲的话可能要参考一些数学教材,如果只是自己使用的话可能不必拘泥这些细节
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5楼#
发布于:2018-10-09 19:30
多谢回答!泡泡机器人能提供这个论坛真是太好了
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6楼#
发布于:2018-10-09 19:30
不客气哈,有收获就好,欢迎有问题来提问,以及帮助回答其他泡芙的问题哈。 :)
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7楼#
发布于:2018-10-09 19:30
恩恩,一定会常来逛
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