huasheng007
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深度滤波器:(二)三角化深度值的误差分析

楼主#
更多 发布于:2018-10-20 02:29
上一篇文章中,我们介绍了单目SLAM中的三角化恢复三维点深度的原理,本篇文章我们来聊一聊三角化深度值的误差分析。 目录: (1)三角化所带来的误差的提出 (2)三角化中误差的来源分析 (3)如何减小三角化所带来的误差 (4)三角化所遇到的奇异情况

 (1)三角化所带来的误差的提出 上一篇文章中,我们提到了两帧图像中的特征点坐标三角化得到空间点的三维信息。
今天,我们来分析一下三角化得到的三维信息中深度的误差。


如上图所示: P为空间中的一个三维点,p1p2分别为在两个位置处,摄像机观察到的投影的二维点坐标。 l2p1在第二幅图中所对应的极线(极线的概念请参考立体视觉中的对极几何,这里不再赘述)。
 
现在,我们要探讨的是:
如果我们在
l2进行极线搜索时,所找到的p2'点与真实的p2点有一个像素的误差,那么会给三角化后的三维点P的深度z带来多大的误差。
  

首先,根据上图,我们可以得到向量之间的关系,以及三角化中的两个夹角的定义: a = p - t                  
公式(1) α = arccos<p, t>    
公式(2) β = arccos<a, -t>  
公式(3) 其中,a, p, t均为向量,αβ为图中所示的两个夹角。
如果此时,我们求取的
p2'点与p2点有一个像素的偏差,同时,这一个像素的偏差又会给β带来δβ的角度变化,我们利用β'来表示对β进行δβ扰动后的新的角度。
设相机的焦距为
f,则:
公式(4):
公式(5):
公式(6): 至此,加入扰动后的所有新的角度我们都求出来了。
由正弦定理,我们可以得到:

公式(7):

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huasheng007
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沙发#
发布于:2018-10-20 02:29
则由第二个位置上的二维点的一个像素的误差,可能导致的三角化后深度的误差为: δp = ||p|| - ||p'|| 这里的δp其实也正是深度的一个均方差(不确定度σobs),这个不确定度是我们后面要介绍的深度滤波器的一个很重要的概念,深度滤波器的目的也正是要不断减小这个不确定度,使得深度的不确定度最后能够收敛到一个能够接受的值。    
(2)三角化中误差的来源分析 上面分析了第二幅图中的特征点p2的误差是如何影响三角化后的深度值的。
下面,我们来指出三角化的误差来源有哪几方面:
a.图像的分辨率:图像的分辨率越高,一个像素所带来的δβ就越小。 b.特征点求取时的精度:是否做到亚像素,在亚像素的基础上,误差有多大? c.p1点的误差:会引起极线l2的误差,从而间接地影响p2点的精度。 d.相机两次位置的平移向量t的大小:t的模的大小也代表了对极几何中的基线长度,由公式(7)可以看出基线长度越大,三角化的误差越小。    
(3)如何减小三角化所带来的误差 根据【(2)三角化中误差的来源分析】中所分析的一些因素可知,要想减小三角化过程中引入的误差,可以有如下几个方法: a.选取尽可能高分辨率的相机。 b.进行亚像素的优化(比如在极线搜索时对像素点坐标进行双线性插值) (关于双线性插值,这篇文章做了比较清晰的讲解:http://blog.163.com/guohuanhuan_cool@126/blog/static/167614238201161525538402/c.同样使用亚像素级的图像处理算法来处理p1点。 d.在不丢失特征点的情况下,让平移量t尽量大。    
(4)三角化所遇到的奇异情况 由上面的公式推导我们可以看出,三角化中,必须要有平移量t,否则无法构成三角形,进行三角化。
所以在有些单目的SLAM,AR/VR的场景中,有经验的人都会有意识地将设备或者相机进行一定量的平移,而不会在原地进行纯旋转。
 
总结一下,我们今天分析了三角化过程中的误差有哪些,并从理论上对误差进行了量化的推导。同时,我们还分析了如果减小三角化过程中的误差。
下一篇文章,我们将会带着大家一起分析深度滤波器的原理。敬请期待!

参考文献:
  1. 《视觉SLAM十四讲:从理论到实践》,电子工业出版社,2017,高翔等著。
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作者】刘富强
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